Composition du jury :

M. Stefan Bilbao (Rapporteur)
M. Laurent Lefèvre (Rapporteur)
Mme. Elena Celledoni (Examinatrice)
M. Udo Zölzer (Examinateur)
M. Bernhard Maschke (Examinateur)
M. Benoit Fabre (Examinateur)
M. Thomas Hélie (Directeur de thèse)

Abstract:

This work addresses the real-time simulation of nonlinear audio circuits. In this thesis, we use the port-Hamiltonian (PH) formalism to guarantee power balance and passivity. Moreover, we adopt a continuous-time functional framework to represent ``virtual analog'' signals and propose to approximate solutions by projection over time frames. As a main result, we establish a sufficient condition on projectors to obtain time-continuous power-balanced trajectories. Our goal is twofold: first, to manage frequency-bandwidth expansion due to nonlinearities, we consider numerical engines processing signals that are not bandlimited but, instead, have a "finite rate of innovation"; second, to get back to the bandlimited domain, we design "virtual analog-to-digital converters". Several numerical methods are built to be power-balanced, high-order accurate, with a controllable regularity order. Their properties are studied: existence and uniqueness, accuracy order and dispersion, but also, frequency resolution beyond the Nyquist frequency, aliasing rejection, reproducing and Peano kernels. This approach reveals bridges between numerical analysis, signal processing and generalised sampling theory, by relating accuracy, polynomial reproduction, bandwidth, Legendre filterbanks, etc. A systematic framework to transform schematics into equations and simulations is detailed. It is applied to representative audio circuits (for the UVI company), featuring both ordinary and differential-algebraic equations. Special work is devoted to PH modelling of operational amplifiers. Finally, we revisit PH modelling within the framework of Geometric Algebra, opening perspectives for structure encoding.

Résumé :

Cette thèse s'intéresse à la simulation temps réel de circuit audio nonlinéaires. Dans cette thèse, nous utilisons le formalisme des systèmes Hamiltoniens à ports (SHP) pour garantir le bilan de puissance et la passivité. De plus, nous adoptons un cadre fonctionnel à temps continu pour représenter des signaux "analogiques virtuels" et nous proposons d'approximer les solutions par projection sur des trames temporelles. En tant que résultat principal, nous établissons une condition suffisante sur les projecteurs de sorte à obtenir des trajectoires à bilan de puissance garanti.
Notre but est double : premièrement, pour gérer l'expansion de bande-passante causée par les nonlinéarités, nous considérons des méthodes numériques traitant des signaux à bande non-limitée qui à la place ont un "taux d'innovation borné"; deuxièmement, pour revenir dans le domaine des signaux à bande limitée, nous concevons des "convertisseurs analogique-numérique virtuels". Plusieurs méthodes numériques sont construites afin d'être à bilan de puissance garanti, avec une précision d'ordre élevé et un un ordre de régularité controllable. Leurs propriétés sont étudiées : existence et unicité, ordre de précision, dispersion, mais aussi, résolution fréquentielle au-delà de la fréquence de Nyquist, rejet du repliement ainsi que noyaux reproduisants et noyaux de Peano. Cette approche révèle des ponts entre l'analyse numérique, le traitement du signal et la théorie de l'échantillonnage généralisé en mettant en relation la précision, la propriété de reproduction des polynomes, la bande passante ou les bancs de filtres de Legendre, etc. Nous exposons un cadre systématique pour transformer des schémas électroniques en équations puis en simulations. Ce cadre est ensuite appliqué à des circuits audio représentatifs, contenant à la fois des équations différentielles ordinaires et des équation algébro-différentielles. Un travail spécifique est dédié à la modélisation SHP des amplificateurs opérationnels. Enfin, nous revisitons la modélisation des SHP dans le cadre de l'algèbre géométrique, ce qui ouvre des perspectives pour l'encodage de la structure géométrique des équations.

Soutenance de thèse de Rémy Muller