Composition du jury :

Aziz HAMDOUNI, professor, Université de la Rochelle, UMR 7356
Jacky CRESSSON, professor, Université de Pau et des Pays de l'Adour, UMR 5142
Juliette CHABASSIER, researcher, INRIA Bordeaux S-O
Thomas HÉLIE, researcher, CNRS - STMS UMR 9912
Brigitte D'ANDREA-NOVEL, professor, Sorbonne Université - STMS UMR 9912
Joël BENSOAM, researcher, Universidada Nova de Lisboa - NET-MD

Résumé :

La synthèse sonore par modèle physique consiste à résoudre numériquement les équations différentielles décrivant les systèmes produisant des vibrations. Cette approche permet la simulation d'effets riches et complexes, capturant la nature des phénomènes mis en jeu de manière réaliste. Toutefois, le traitement numérique fait inévitablement surgir des problématiques de stabilité, qui peuvent rendre les méthodes d'intégration inopérantes. L'approche choisie dans cette thèse est de mettre en œuvre les outils offerts par les méthodes numériques dites d'inspiration géométrique, afin de calculer les solutions des systèmes modélisés d'une façon qui garantisse la vérification de différents principes physiques fondamentaux.

La mécanique variationnelle discrète, qui permet le traitement de systèmes formulés à l'aide d'un lagrangien, assure par construction des garanties sur l'énergie, la symplecticité, et la conservation des moments résultants de l'existence de symétries. Par ailleurs, le choix d'un système de coordonnées particulier fait parfois apparaître des non linéarités dans les équations, qui peuvent mettre en difficulté les méthodes numériques; une formulation intrinsèque de ces équations à l'aide de groupes de Lie permet de résoudre ce problème. Nous avons implémenté un cadre général pour l'ensemble de ces approches numériques dans une librairie C++ open source. La mécanique covariante étend l'approche lagrangienne au traitement des équations aux dérivées partielles. Nous proposons alors une prise en compte des forces et des conditions limites sous un principe variationnel unifié étendant le principe de Lagrange-d'Alembert. Il devient alors possible d'exprimer dans le domaine numérique les lois d'évolution des moments en fonction des forces et des conditions limites.

Les différents outils étudiés sont finalement combinés et appliqués à la résolution numérique d'un modèle de corde. Notre modèle tridimensionnel est géométriquement exact, non linéaire, tient compte des six degrés de liberté (translation et rotation), et reste valide pour des déformations de grande d'amplitude. Un soin particulier est apporté à l'établissement des conditions limites selon un traitement covariant. Les spectres de fréquence propres du systèmes sont obtenus sous l'hypothèse des petites déformations, et comparés à plusieurs modèles de cordes classiques. La résolution numérique de la dynamique de la corde est réalisée par l'application d'une méthode numérique covariante avec groupe de Lie. Une triple validation des résultats est proposée: conservation des invariants physiques pour un système isolé, analyse spectrale comparée pour des vibrations de faible amplitude, et simulation du mouvement de la corde pour une force d'excitation de grande magnitude.

Soutenance de thèse Pierre Carré