L’homologie persistante est un outil de la théorie simpliciale construit à la fin du XXème siècle. Il s’utilise notamment dans le domaine de l’Analyse Topologique de Données (TDA) et de la reconnaissance de forme : le principe est d’extraire un nuage de points d’un objet que l’on souhaite étudier, puis de transformer ce nuage en un complexe simplicial filtré en utilisant par exemple la méthode de Vietoris-Rips. En général, le choix de la distance entre les points est crucial, et c’est à cet endroit qu'est décidée l'intervention de la Transformée de Fourier Discrète (DFT).

Le but consiste alors à calculer l’homologie simpliciale d’un complexe filtré à chaque moment de la filtration, et de regarder les caractéristiques topologiques qui persistent au cours du temps. Cette approche permet d’encoder l’évolution topologique d’un objet à travers une seule structure algébrique.

Cet exposé permettra de redéfinir l’homologie persistante, de montrer comment cet outil permet de récupérer des informations topologiques présentes dans les partitions de musique ; notamment en en extrayant des nuages de points et en se servant de la DFT comme distance sur ces derniers.