Dans cet exposé, nous parlerons de filtrage d’image d’un point de vue morphologique. Très intuitivement, il s’agit de classer les points d’une image de telle sorte que l’on puisse éliminer les classes les plus étrangères au reste du contenu de l’image. Par rapport aux techniques de classification plus classique, la connexité (le voisinage d’un point) prend une importance considérable en imagerie et particulièrement en morphologie mathématique. Les filtres connexes éliminent un certain type d’information de l’image, tout en préservant le contour des objets. Une implémentation populaire repose sur des arbres qui organisent toutes les composantes connexes présente dans l’image. Nous montrerons comment réutiliser ce type d’approche pour faire du filtrage de formes dans l’espace des composantes connexes, organisé comme un graphe dont la relation de voisinage est la relation parent-enfant de l’arbre.
La définition du voisinage d’un point est critique pour le type d’approche que nous venons d’évoquer. Dans une deuxième partie de l’exposé, nous nous intéresserons à définir l’arbre des lignes de niveau d’une fonction numérique discrète, aussi connu sous le nom d’arbre des formes. Nous montrerons qu’une approche multivoque reposant sur la topologie dite d’Alexandroff (une topologie discrète très adaptée aux complexes simpliciaux ou cubicaux) permet de retrouver dans le discret les propriétés de continuité auxquels nous sommes habitués dans le continu. Partant de là, on peut démontrer l’existence et l’unicité de l’arbre des formes. Cet arbre est en particulier utile pour des filtrages auto-duaux (c’est-à-dire traitant de la même manière les seuils supérieurs et inférieurs de la fonction), et nous montrerons une interprétation auto-duale des fonctions discrètes, interprétation qui n’existe pas dans le continu.

Mathématiques et représentations spatiales

Dans cette séance nous considérerons différentes formes d'intégration de la notion d'espace dans les formalismes et représentations algébriques, logiques ou calculatoires. Après une mise en perspectives de ces concepts dans le domaine musical, des théories spécifiques seront abordées avec les complexes simpliciaux appliqués à l'analyse de concepts formels, le raisonnement qualitatif spatial et temporel, et la morphologie mathématique. Avec la participation de Laurent Najman (Université Paris-Est / ESIEE), Gérard Ligozat (LIMSI / CNRS - Université Paris Sud), Anton Freund (Ludwig-Maximilians-Universität München) et Moreno Andreatta (IRCAM / CNRS - UMR STMS).